Argos Arruda Pinto: Deduzindo E = mc² a partir da Transformada de Lorentz para a Massa Relativa

Obs. 01: Existem várias maneiras de se chegar a esta equação. Escolhi pela Transformada de Lorentz pois assim eu evito as integrais e as derivadas do Cálculo Diferencial e Integral do Ensino Superior, ficando apenas com a matemática utilizada no Ensino Médio. É só ter um pouco de paciência nas passagens de cada linha que ficará fácil de entender.

Considere dois sistemas de referências S e S', se movendo com velocidade constante v, um em relação ao outro.
Digamos que S está na Terra e S' está em uma nave, sendo v uma velocidade próxima à da luz. Nosso planeta possui rotação, e, não sendo um sistema referencial perfeito, podemos admiti-lo como tal devido à grande diferença de tamanho entre nós e ele.

Um corpo de massa m aqui na Terra terá uma massa m' em relação a nós pela Transformada de Lorentz dada por:

m' = m/(√1 - v²/c²).
Em que c é a velocidade da luz.

Repare de imediato que se v for muito menor que c, o termo v²/c² tenderá a zero e então (√1 - v²/c²) será igual a (√1 - 0) e teremos √1 = 1. 
Então, da transformada: m' = m.
Para velocidades pequenas em relação à luz não sentiremos os efeitos relativísticos.
Mas se v for próxima à c, (v²/c²) terá um valor próximo de 1, e, "(√1 - 'valor próximo de 1')" será menor que 1. Assim m' (=m/...) será maior que m porque esta é dividida por um denominador menor que 1. Então m' > m.

Voltando à transformada m' = m/(√1 - v²/c²) e elevando-se os dois membros ao quadrado teremos:
m'² = m²/(1 - v²/c²),
m'²/m² = 1/(1 - v²/c²). Invertendo as duas frações:
m²/m'² = (1 - v²/c²),
Desenvolvendo o segundo membro:
m²/m'² = (c² - v²)/c²,
m²c² = m'²c² - m'²v². 
Multiplicando os dois membros por c²:
m²c⁴ = m'²c⁴ - m'²v²c⁴, ou
m'²c⁴ = m²c⁴ + m'²v²c⁴.

Obs. 02: Vale a pena dizer agora que esta multiplicação por c² resultou em uma expressão na qual os termos possuem a dimensão de energia ao quadrado, mas energia. E mais: podemos dizer que o primeiro membro é a energia E ao quadrado relacionada com o corpo de massa m' em movimento, m²c⁴ é a energia do corpo m em repouso e m'²v²c⁴ a energia relacionada ao momento m'v ao quadrado, do corpo de massa m' em movimento. Ou seja, temos 3 termos relacionando energia e massa intimamente, algo realmente absoluto no sentido desta igualdade nos mostrar que uma é a outra e vice-versa!

Retornando a (m'²c⁴ = m²c⁴ + m'²v²c⁴) e substituindo o momento p = m'v e m'²c⁴ por E²:
E² = m²c⁴ + p²c⁴,
E = √(m²c⁴ + p²c⁴) (a).

Veja, se v=0, m', em S', estará em repouso em relação ao sistema S. Isto significa que p=0. Substituindo em (a):
E = √m²c⁴,
E = mc².

E como fiz E² = m'²c⁴,
E = m'c² = mc², também para p=0.
Então m' = m. 
A massa não aumenta em repouso mostrando válida a igualdade E² = m'²c⁴.

Neste momento quero comentar o grande "insight" de Einstein, para não dizer a grande "sacada" de Einstein, a qual é gíria, demais importante: qualquer corpo de massa m estará em repouso ou em movimento em relação a qualquer outro corpo, ou sistema de referência em, sem exageros, de todos no Universo. A equação (a) nos mostra uma relação direta entre massa e energia. Quer dizer, todos os objetos do Universo também se relacionando entre si com estes dois conceitos da Física. Talvez seria impossível conceber um Universo com massa e energia não estando juntas. E elas estão!