Explicando o Espaço-Tempo Absoluto de Albert Einstein

Veja a figura abaixo. Não são dois planos cartesianos com pontos (x,y) e sim planos de eventos, nos quais você pode considerar como eventos não apenas os fenômenos físicos, mas quaisquer outros do mundo natural e do mundo criado por nós, tendo carros, aviões, casas, prédios, parques, ruas, cidades, etc., enfim, nossa civilização.

Chamei de S₁ e S₂ representando dois sistemas de referências inerciais em velocidade constante entre eles.

No eixo horizontal de S₁ estão todos os pontos, as coordenadas, do nosso espaço euclidiano em suas três dimensões (x₁,y₁,z₁) nos quais todos os eventos ocorrem e no vertical o intervalo temporal, ou simplesmente tempo (t₁), dos mesmos eventos. O mesmo é válido para S₂, (x₂,y₂,z₂) e (t₂). O ponto (0,0,0) é a origem do plano, tendo o eixo horizontal pontos como (35,7,5.785), (2,1.000,2.0000), (-675,-2.698,0), (-56.831,-9,-317), ou seja, todos os pontos do espaço euclidiano em uma reta, um eixo.

Esses planos de eventos você pode colocá-los em qualquer lugar do Universo, a não ser em planetas ou outros objetos girando em torno de outros, porque deixam de serem inerciais devido à rotação ou a translação, possuindo aceleração centrípeta, e o eixo temporal começa em "0" porque não há tempo negativo.

Esses sistemas fazem um ângulo θ₁ entre si e não estão no modo "standard", ou seja, com os eixos do espaço paralelos entre si. Para o valor θ=0 eles estarão paralelos mas em todos os outros casos não. Isto significa que os sistemas inerciais em relação a qualquer observador estão em um número muito grande em direções e sentidos, representando como são as configurações de todos os objetos do Universo: se dois possuem velocidades, direções e sentidos para um observador, outro observador os verão em velocidades diferentes, direções e sentidos também diferentes. Como apenas um exemplo, se estivermos nos distanciando de uma nave em uma direção e sentido para um observador em repouso em relação a ela, outro nos verá se distanciando dela com outra direção e sentido e também com uma determinada velocidade entre nós e ela.

Assim, os sistemas inerciais dispersos no Universo estarão representados por S = (S₁, S₂, ..., Sₙ), com n = (1, 2, 3, 4, ...), tendo eles ângulos diversos em nosso plano de eventos, expressos por θ = (θ₁,θ₂,θ₃ ..., θₙ) em que n = (1, 2, 3, 4, ...), sendo n um número muito grande mas não infinito, pois não faz sentido um número infinito de sistemas inerciais.

O ponto A representa um evento, digamos, a observação de uma nave em meio a muitas delas no espaço, tendo coordenadas (x'₁,y'₁,z'₁) em S₁ para um observador e (x'₂,y'₂,z'₂) em S₂ para outro observador. Repare que o tempo relativo entre os dois sistemas leva a valores diferentes, t'₁, em S₁ e t'₂ em S₂ para esses mesmos observadores. Essa nave passa pelo ponto B, e, para o observador em S₁ ela possui coordenadas (x''₁,y''₁,z''₁) e t''₁. Em S₂, (x''₂,y''₂,z''₂) e t''₂.

Agora sim eu posso me aprofundar no assunto deste texto. Sendo a Relatividade Restrita ter como o primeiro postulado que as leis da Física são as mesmas para todos os sistemas inerciais, os eventos A e B estão em concordância com ela porque são observados em sistemas desta natureza. No segundo postulado a velocidade da luz é sempre constante no vácuo e então, devido a esta propriedade, o tempo e seus intervalos são diferentes para esses sistemas como eu já mencionei.

Por tudo isto é necessário incluir o tempo como uma coordenada a mais, embora não espacial, como t'₁, t'₂, etc., e não simplesmente t, igual para todos os sistemas, absoluto, como Newton achava e a qual esta ideia permaneceu até Einstein. Então surgem as quatro dimensões (x,y,z,t).

Os pontos A e B possuem coordenadas nas quatro dimensões e diferentes entre si, podendo haver algumas iguais.

Note que todos os "n's" referenciais observam a passagem da nave em A e B, tendo medidas diferentes entre eles, devido à relatividade do espaço e do tempo, mas, o que é igual a todos, é o segmento de reta compreendido entre A e B. Este segmento é formado não só por estes pontos, e sim compreendendo todos os pontos dos "n's" referenciais observando o movimento da nave.

Então, este segmento sendo igual a todos os referenciais, medido pelas quatro dimensões (x,y,z,t), faz com que pensemos os planos de eventos como planos quadridimensionais de pontos do espaço e do tempo, sendo o segmento A→B absoluto, ou como a distância no espaço-tempo dos eventos, o espaço-tempo absoluto de Einstein!

P.S.: Eu gostaria de dar um exemplo prático sobre este texto pois ele ficou complicado para muitas pessoas.

Imagine se você, leitor, estiver em uma nave com velocidade constante, tendo o sistema referencial S₁ para registrar eventos no espaço. Eu estarei em outra nas mesmas condições só que com o referencial S₂. Ao observarmos uma terceira nave passando por A, eu e você registramos pontos (x, y, z) diferentes. Mas não é só isto: como o tempo é relativo, no meu relógio eu observo um momento diferente do seu para essa nave. Assim ocorre para o ponto B. Na verdade se estivermos em velocidades bem grandes em relação à luz, os efeitos relativísticos como o tempo diferente a nós serão melhor observados, mas não, por exemplo, em nossas naves de hoje. Quer dizer, os pontos A e B terão posições espaciais e tempo diferentes para nós e para todas as outras naves também, em seus sistemas referenciais. Tudo será relativo mas o que será absoluto realmente é a distância de A para B neste espaço chamado de quadridimensional, o espaço-tempo de Einstein.

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Deduzindo E = mc² a partir da Transformada de Lorentz para a Massa Relativa

Obs. 01: Existem várias maneiras de se chegar a esta equação. Escolhi pela Transformada de Lorentz pois assim eu evito as integrais e as derivadas do Cálculo Diferencial e Integral do Ensino Superior, ficando apenas com a matemática utilizada no Ensino Médio. É só ter um pouco de paciência nas passagens de cada linha que ficará fácil de entender.

Considere dois sistemas de referências S e S', se movendo com velocidade constante v, um em relação ao outro.

Digamos que S está na Terra e S' está em uma nave, sendo v uma velocidade próxima à da luz. Nosso planeta possui rotação, e, não sendo um sistema referencial perfeito, podemos admiti-lo como tal devido à grande diferença de tamanho entre nós e ele.

Um corpo de massa m aqui na Terra terá uma massa m' em relação a nós pela Transformada de Lorentz dada por:

m' = m/(√1 - v²/c²).

Em que c é a velocidade da luz.

Repare de imediato que se v for muito menor que c, o termo v²/c² tenderá a zero e então (√1 - v²/c²) será igual a (√1 - 0) e teremos √1 = 1.

Então, da transformada: m' = m.

Para velocidades pequenas em relação à luz não sentiremos os efeitos relativísticos.

Mas se v for próxima à c, (v²/c²) terá um valor próximo de 1, e, "(√1 - 'valor próximo de 1')" será menor que 1. Assim m' (=m/...) será maior que m porque esta é dividida por um denominador menor que 1. Então m' > m.

Voltando à transformada m' = m/(√1 - v²/c²) e elevando-se os dois membros ao quadrado teremos:

m'² = m²/(1 - v²/c²),

m'²/m² = 1/(1 - v²/c²). Invertendo as duas frações:

m²/m'² = (1 - v²/c²),

Desenvolvendo o segundo membro:

m²/m'² = (c² - v²)/c²,

m²c² = m'²c² - m'²v².

Multiplicando os dois membros por c²:

m²c⁴ = m'²c⁴ - m'²v²c⁴, ou

m'²c⁴ = m²c⁴ + m'²v²c⁴.

Obs. 02: Vale a pena dizer agora que esta multiplicação por c² resultou em uma expressão na qual os termos possuem a dimensão de energia ao quadrado, mas energia. E mais: podemos dizer que o primeiro membro é a energia E ao quadrado relacionada com o corpo de massa m' em movimento, m²c⁴ é a energia do corpo m em repouso e m'²v²c⁴ a energia relacionada ao momento m'v ao quadrado, do corpo de massa m' em movimento. Ou seja, temos 3 termos relacionando energia e massa intimamente, algo realmente absoluto no sentido desta igualdade nos mostrar que uma é a outra e vice-versa!

Retornando a (m'²c⁴ = m²c⁴ + m'²v²c⁴) e substituindo o momento p = m'v e m'²c⁴ por E²:

E² = m²c⁴ + p²c⁴,

E = √(m²c⁴ + p²c⁴) (a).

Veja, se v=0, m', em S', estará em repouso em relação ao sistema S. Isto significa que p=0. Substituindo em (a):

E = √m²c⁴,

E = mc².

E como fiz E² = m'²c⁴,

E = m'c² = mc², também para p=0.

Então m' = m.

A massa não aumenta em repouso mostrando válida a igualdade E² = m'²c⁴.

Neste momento quero comentar o grande "insight" de Einstein, para não dizer a grande "sacada" de Einstein, a qual é gíria, demais importante: qualquer corpo de massa m estará em repouso ou em movimento em relação a qualquer outro corpo, ou sistema de referência em, sem exageros, de todos no Universo. A equação (a) nos mostra uma relação direta entre massa e energia. Quer dizer, todos os objetos do Universo também se relacionando entre si com estes dois conceitos da Física. Talvez seria impossível conceber um Universo com massa e energia não estando juntas. E elas estão!

85Davi Felix e outras 84 pessoas

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